2.5.2 Teoria cinetica: interpretazione microscopica e distribuzione di equilibrio

 

1) Il gas è un sistema di particelle

N = n NA

con NA = 6,0225x1023. Il numero di moli si può calcolare anche dalla massa m di ogni particella e dal peso molecolare M della stessa (infatti vale n = mN/M).

Il numero di particelle che compone il gas perfetto è enorme: in 1 mm3 a 273 °K vale N = 3x1016.

2) Le particelle sono sfere impenetrabili e indeformabili di diametro d = 10-8 che si muovo a caso (ipotesi di caos molecolare). La distanza media tra due particelle in condizioni normali vale 50 volte il diametro. Le velocità delle particelle sono dunque distribuite in modo isotropo, cioè senza direzioni privilegiate.

3) Le particelle non interagiscono tra loro tranne che per urti elastici, mentre tra due urti si muovono di moto rettilineo uniforme.

4) Le particelle urtano in modo elastico contro pareti liscie, invertendo solamente la componente perpendicolare alla parete delle loro velocità (Δv = - 2v).

5) Senza forze esterne la densità molecolare N/V è costante in modo che in un elemento di volume dV ci sono dN = (N/V) dV.

6) Non tutte le molecole hanno la stessa velocità. Si ammettono valori superiori anche a quelli della luce, pur essendo un numero di casi trascurabile (meccanica classica non relativistica).

 

Si calcola la distribuzione maxwelliana f delle velocità v e si ottiene

con kB= R/NA = 1,3806505x10-23 J/°K costante di Boltzmann.

Inoltre abbiamo l'interpretazione microscopica di temperatura e pressione collegate all'energia cinetica media per particella

Km = (K1 + K2 + ... + KN) / N = (1/2) m v1q2

(con l'ultimo termine definito come la velocità quadratica media).

Infatti valgono le importanti relazioni di ponte tra approccio microscopico e macroscopico

Km = (3/2) kB T

e

p V = (2/3) N Km

Infine si ricava la dipendenza dell'energia interna dalla temperatura per il gas perfetto (solo contributi cinetici):

U = (3/2) N kB T

che mostra anche il teorema di equipartizione dell'energia, per cui (1/2)kBT è il contributo dato all'energia del sistema per ogni grado di libertà traslazionale della particella.