3.3.1 Caos nei sistemi dinamici

INTRODUZIONE

La MECCANICA CLASSICA descrive il moto di un sistema di corpi (non quantistici e non relativistici); se tale sistema è conservativo allora l'energia rimane costante e le formulazioni lagrangiana e hamiltoniana permettono di costruire le EQUAZIONI DEL MOTO nello spazio delle fasi. Importante è definire le trasformazioni canoniche e trovare eventuali costanti del moto.

La formulazione con le variabili azione-angolo è molto utile, un esempio paradigmatico è il pendolo non lineare; un oggetto importante nello spazio delle fasi è il toro N-dimensionale e il concetto di INTEGRABILITÀ è il punto di partenza nello studio dei sistemi dinamici.

Vengono tratteggiate anche le caratteristiche della TEORIA DELLE PERTURBAZIONI a 1 grado di libertà (parte media dell'energia e termine secolare), a 2 gradi di libertà (fallimento dell'espansione di Poincaré e Von Zeipel col problema dei piccoli denominatori, la media aurea e la serie di Fibonacci; il tentativo di rimozione delle risonanze e lo studio degli invarianti adiabatici del moto); emergono dunque ISOLE DI INTEGRABILITÀ nell'intorno delle risonanze.

Definiamo il CAOS DETERMINISTICO in sistemi conservativi. Iniziamo con 2 gradi di libertà dalle sezioni di Poincaré e lo studio di punti fissi (e loro stabilità) e cerchi invarianti (col teorema di Poincaré e Birkhoff), poi inseriamo le perturbazioni e vediamo che succede ai tori invarianti. Grazie al TEOREMA KAM e con l'analisi paradigmatica della twist map e del kicked rotator (fino a giungere alla standard map) apriamo lo studio delle MAPPE area-preserving. Scopriamo che i punti fissi instabili sono generatori di CAOS per cui il moto nel loro intorno è impredicibile.

La transizione alla stocasticità si ottiene dalle zone caotiche e giungendo all'OVERLAPPING DELLE RISONANZE (aumentando la perturbazione, spesso esprimente l'interazione) fino a giungere a una singola MAGLIA STOCASTICA. Si perde il concetto di traiettoria e si giustifica la trattazione statistica.

La MECCANICA STOCASTICA con variabili a distribuzione gaussiana parte da un approccio differente da quello iniziale, cerca una equazione di diffusione (alla Fokker-Planck) con perdita di memoria e studia dunque PROCESSI MARKOVIANI (grazie al teorema KCS). Esemplare è lo studio del moto browniano, a partire dalla trattazione di Langevin.

EQUAZIONI DEL MOTO E TRASFORMAZIONI CANONICHE

Formalismo Lagrangiano. Prendi un sistema e cerca i gradi di libertà  (q1,...,qN)  costruisci la lagrangiana  L(q,q',t)  e l'equazione del moto, trova le costanti del moto  p = dL/dq'  che ti aiutano a risolverla (se si può...).

Formalismo Hamiltoniano. Dalla conservazione dell'energia definita come l'hamiltoniana  H=L - p q'  possiamo trovare trasformazioni che rendano le equazioni facilmente risolubili in un certo sistema di coordinate comodo (esempio: moto centrale 2D in coordinate polari). Trasformazioni puntuali coinvolgono solo le coordinate  (q1,...,qN)  e mantengono invarianti in forma le equazioni del moto in forma lagrangiana; se si utilizza il principio variazionale di Hamilton per cui il moto è quello che minimizza il funzionale di azione  S[q] = integrale(dt L(q,q',t)) allora escono le equazioni del moto nella forma hamiltoniana. Dunque anche qui prendi un sistema, cerca i gradi di libertà, costruisci l'hamiltoniana  H(p,q)  e le equazioni del moto, dalle costanti del moto le risolvi (se si può...).

EQUAZIONI DEL MOTO DI LAGRANGE:  d(DL/Dp')/dt - DL/Dq = 0

EQUAZIONI DEL MOTO DI HAMILTON:  p' = - dH/dp  e  q' = dH/dp

Continuando il discorso, è importante considerare le trasformazioni canoniche che conservano in forma le equazioni di Hamilton. Troviamo la funzione generatrice e la trasformata di Legendre e poi classifichiamo: tutte le trasformazioni puntuali, la trasformazione identità e quella esemplare dell'oscillatore armonico sono canoniche.

Definiamo costante del moto una F(q,p,t) che si conserva nel tempo e con le equazioni di Hamilton e la definizione di parentesi di Poisson scriviamo dunque  [F,H] + DF/Dt = 0  . Ebbene, una trasformazione è canonica se e solo se lascia inalterate tali parentesi. Questa descrizione essenziale del moto è utilissima e comodissima ed è possibile costruirla individuando simmetrie nel sistema.

Le trasformazioni canoniche infinitesime sono: l'evoluzione temporale con generatrice H stessa e ogni trasformazione con generatrici le costanti del moto (le quali lasciano invariata l'Hamiltoniana). Ad esempio se H è invariante per traslazioni il generatore è il momento p, se H è invariante per rotazioni attorno a z il generatore è il momento angolare lz. Per il problema a 2 corpi in potenziale centrale in 3D abbiamo sempre l'energia, il momento e il momento angolare come costanti del moto. Ma già con tre corpi in potenziale centrale il problema si complica enormemente, come vedremo.

VARIABILI AZIONE-ANGOLO E INTEGRABILITÀ

Prendiamo il pendolo semplice: abbiamo due tipi di moto periodico, quello di librazione a piccoli angoli (p e q periodiche nel tempo con stesso periodo) e quello di rotazione completa (p è periodica nella q). Se definiamo la variabile azione  J=integrale_circolare[dq p]  allora il periodo  T=DJ/DH e l'angolo coniugato all'azione J sarà  phi tale che phi'=DH/DJ=nu con nu=1/T frequenza propria del moto, per cui  phi(t)=phi(0)+nu t  . Rappresentiamo dunque il sistema nelle coordinate canonicamente coniugate (J,nu). Per un insieme di N oscillatori armonici non accoppiati l'energia si può scrivere  H=Sigmai[nuiJi] le cui traiettorie si trovano su un toro N-dimensionale.

Possiamo definire allora un sistema TOTALMENTE INTEGRABILE se, presentando N gradi di libertà e N costanti del moto in involuzione tra loro (per cui [Ii,Ij] per ogni i,j=1,...,N), allora è parametrizzabile su un toro N-dimensionale. Ma ci troviamo in una situazione idilliaca, come vedremo.

Analizziamo il pendolo xxx

e il pendolo non lineare xxx.

TEORIA DELLE PERTURBAZIONI

Che succede ai tori se li perturbiamo? xxx

 

Tratto da appunti universitari (grazie al professor Borgonovi).